Question

12．（1）设z∈C，z+|$\overline{z}$|=2+i，求z
（2）已知曲线y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$．求曲线过点P（2，4）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi（a，b∈R），求出其共轭复数，以及模，由复数相等，解方程即可得到所求复数；
（2）根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而求得切线的斜率，再用点斜式写出化简即可，注意讨论切点．

解答 解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），
则$\overline{z}$=a-bi，z+|$\overline{z}$|=2+i，
即为a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+bi=2+i，
可得b=1，a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，
解得a=$\frac{3}{4}$，b=1，
则z=$\frac{3}{4}$+i；
（2）∵P（2，4）在y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$上，又y′=x²，
∴斜率k=2²=4．
∴所求直线方程为y-4=4（x-2），4x-y-4=0．
当切点不是点P时，设切点为（x₁，y₁），根据切线过点P，可得：
x₁²=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-2}$又y₁=$\frac{1}{3}$x₁³+$\frac{4}{3}$，
可解出x₁=-1，y_i=1（舍去（2，4）），
所以切线方程为y-1=x+1
即切线方程为y=x+2
故切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0．

点评 本题考查复数的运算，导数的运用：求切线方程，注意区分切点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．