Question

已知函数f（x）=sinxcos?+cosxsin?（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数y=f(2x+

π

4

)的图象关于直线x=

π

6

对称．
（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若f(α-

2π

3

)=

2

4

，求sin2α的值．

Answer 1

（I）∵f（x）=sin（x+φ），∴f（x）的最小正周期为2π，
∵y=f（2x+

π

4

）=sin（2x+

π

4

+φ），y=sinx的对称轴为x=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴令2x+

π

4

+φ=kπ+

π

2

，将x=

π

6

代入得：φ=kπ-

π

12

（k∈Z），
∵0＜φ＜π，∴φ=

11π

12

；
（Ⅱ）∵f（α-

2π

3

）=sin（α-

2π

3

+

11π

12

）=sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

4

，
∴sinα+cosα=

1

2

，
两边平方得：1+2sinαcosα=1+sin2α=

1

4

，
则sin2α=-

3

4

．