Question

【题目】已知M(x1，y1)是椭圆＝1(a>b>0)上任意一点，F为椭圆的右焦点．

（1）若椭圆的离心率为e，试用e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值；

（2）已知直线m与圆x2＋y2＝b2相切，并与椭圆交于A、B两点，且直线m与圆的切点Q在y轴右侧，若a＝4，求△ABF的周长．

Answer 1

【答案】（1）|MF|＝a－ex1，且|MF|max＝a＋ae，|MF|min＝a－ae.（2）8

【解析】

（1）设F（c，0），则|MF|，﹣a≤x1≤a，且0＜e＜1，由此能求出|MF|的最值．

（2）设A(x0，y0)，B（x2，y2），(x0，x2>0)，在△OQA中，由|AQ|，|BQ|，求出|AB|+|AF|+|BF|＝2a，由此能求出△ABF的周长．

(1)设F(c,0)，则|MF|＝，

又，则

所以|MF|＝

＝＝，

又－a≤x1≤a且0<e<1，

所以|MF|＝a－ex1，且|MF|max＝a＋ae，|MF|min＝a－ae.

设A(x0，y0)，B(x2，y2)(x0，x2>0)，连接OQ，OA，

在△OQA中，|AQ|2＝＋－b2，

又＝，所以|AQ|2＝

则|AQ|＝，同理|BQ|＝，

所以|AB|＋|AF|＋|BF|＝2a－＋x0＋x2＝2a，

又a＝4，所以所求周长为8.