Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P为A₁B上的点.

（1）当为何值时,AB⊥PC；

（2）当二面角P-AC-B的大小为时,求的值.

Answer 1

解：（1）当=1时.

作PD∥A₁A交AB于D，连CD.由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC.当P为A₁B中点时，D为AB中点.∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB.∴PC⊥AB（三垂线定理）.

（2）过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC，

∴∠DEP为二面角P—AC—B的平面角，∠DEP=.

∴tan∠PED==.

∴PD=DE.∵DE=AD·sin60°=AD,∴PD=DE=×AD=AD.

又∵PD∥A₁A,∴PD=BD.∴.