Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P为A₁B上的点．
（1）当

A1P

PB

为何值时，AB⊥PC；
（2）当二面角P-AC-B的大小为

π

3

时，求

A1P

PB

的值．

Answer 1

分析：（1）当

A1P

PB

=1，作PD∥A₁A交AB于D，连CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC，当P为A₁B中点时，D为AB中点，而△ABC为正三角形，则CD⊥AB，根据三垂线定理可得PC⊥AB．
（2）过D作DE⊥AC于E，连接PE，则PE⊥AC，根据二面角平面角的定义可知∠DEP为二面角P-AC-B的平面角，在三角形PED中求出PD与DE的关系，根据DE=AD•sin60°=

3

2

AD，得到PD与AD的关系，而PD∥A₁A，则PD=BD，从而求出

A1P

PB

的值．

解答：解：（1）当

A1P

PB

=1时．作PD∥A₁A交AB于D，连CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC．
当P为A₁B中点时，D为AB中点．
∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB．∴PC⊥AB（三垂线定理）．

（2）过D作DE⊥AC于E，连接PE，则PE⊥AC，
∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角，∠DEP=

π

3

．
∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

．
∴PD=

3

DE．
∵DE=AD•sin60°=

3

2

AD，
∴PD=

3

DE=

3

×

3

2

AD=

3

2

AD．
又∵PD∥A₁A，
∴PD=BD．
∴

A1P

PB

=

AD

DB

=

AD

PD

=

2

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及三垂线定理和与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了学生计算能力、分析问题解决问题的能力，属于中档题．