Question

14．已知命题p：“直线y=x+k与圆x²+y²=2有公共点”，命题q：“方程$\frac{x^2}{k-2}$-$\frac{y^2}{k}$=1表示双曲线”．
（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；
（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p：“直线y=x+k与圆x²+y²=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x-y+k=0的距离不大于半径，解得实数k的取值范围；
（2）若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，求两个命题为真时k的范围的交集，可得答案．

解答 解：（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x²+y²=2有公共点”是真命题，
则圆心（0，0）到直线x-y+k=0的距离不大于半径，
即$\frac{\left|k\right|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{2}$，
解得：k∈[-2，2]，
（2）若命题q：“方程$\frac{x^2}{k-2}$-$\frac{y^2}{k}$=1表示双曲线”是真命题．
则（k-2）k＞0，
解得：k∈（-∞，0）∪（2，+∞），
若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，
故k∈[-2，0）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，双曲线的定义，复合命题等知识点，难度中档．