Question

6．已知二次函数f（x）=x²+bx+c，当x∈R时f（x）=f（2-x）恒成立，且3是f（x）的一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（a^x）（a＞1），若函数g（x）在区间[-1，1]上的最大值等于5，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）由已知可f（x）=f（2-x）恒成立，且3是f（x）的一个零点，求出b，c的值，可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设t=a^x（a＞1），由x∈[-1，1]，可得：t∈[$\frac{1}{a}$，a]，结合函数g（x）在区间[-1，1]上的最大值等于5，分类讨论，可得满足条件的a值．

解答 解：（Ⅰ）由x∈R时f（x）=f（2-x）恒成立得函数的图象关于直线x=1对称；，
∴$-\frac{b}{2}$=1．解得：b=-2 …（3分）
又v的一个零点，
∴9-6+c=0．解得：c=-3．…（6分）
∴f（x）=x²-2x-3 …（7分）
（Ⅱ）设t=a^x，（a＞1），
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{a}$，a]…（9分）
若f（a）=5，则由a²-2a-3=5得a=4，或a=-2（舍去），此时f（a）＞f（$\frac{1}{a}$），符合题意；…（12分）
若f（$\frac{1}{a}$）=5，则可得a=$\frac{1}{4}$（舍去），或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴a=4 …（15分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．