题目内容
12．已知数列{an}满足a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，解答下列问题：（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）由数列{an}满足a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，作差bn+1-bn=1，即可证明；
（2）利用等差数列的通项公式可得bn，进而得到an．
解答 （1）证明：∵数列{an}满足a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴bn+1-bn=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
∴数列{bn}是等差数列，首项与公差都为1．
（2）由（1）可得：bn=1+（n-1）=n，
∴bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，解得an=1+$\frac{1}{n}$．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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