Question

已知函数f（x）=

1-2-x，x＜0 2x-1，x≥0

，则下列说法正确的是（　　）

• A、f（x）为偶函数，且在R上为增函数
• B、f（x）为奇函数，且在R上为增函数
• C、f（x）为偶函数，且在R上为减函数
• D、f（x）为奇函数，且在R上为减函数

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：运用指数函数的单调性即可判断x＞0，x＜0均为增函数，且f（0）=0，f（x）为连续函数，再由奇偶性的定义即可判断f（x）为奇函数．

解答： 解：函数f（x）=

1-2-x，x＜0 2x-1，x≥0

，
当x＜0时，y=1-2^-x单调递增，
当x≥0时，y=2^x-1单调递增，
且x=0时，f（0）=0，即有函数连续，
则f（x）在R上递增；
又x＞0时，f（x）=2^x-1，x＜0时，f（x）=1-2^-x．
令x＜0，则-x＞0，f（-x）=2^-x-1=-f（x），
令x＞0，则-x＜0，f（-x）=1-2^x=-f（x），
且f（0）=0，
即有f（-x）=-f（x）．
则有函数f（x）为奇函数．
即有f（x）为奇函数，且在R上为增函数．
故选：B．

点评：本题考查分段函数的奇偶性和单调性的判断，运用定义和指数函数的单调性判断是解题的关键．