Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点．(1，

2

2

)，离心率为

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜线分别为k₁、k₂．①证明：

1

k1

-

3

k2

=2；②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆过已知点和离心率，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）①把直线PF₁、PF₂的方程联立求得交点的坐标的表达式，代入直线x+y=2上，整理求得

1

k1

-

3

k2

=2，原式得证．
②设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF₁和椭圆的方程根据韦达定理表示出x_A+x_B和x_Ax_B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0推断出k₁+k₂=0或k₁k₂=1，分别讨论求得p．

解答：解：（1）∵椭圆过点(1，

2

2

)，e=

2

2

，
∴a2=2b2，a=

2

，b=c=1，
故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（2）①由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），PF₁，PF₂的斜率分别是k₁，k₂，且点P不在x轴上，
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0．
又直线PF₁、PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），
联立方程解得

x= k1+k2 k2-k1 y= 2k1k2 k2-k1

，
所以P(

k1+k2

k2-k1

，

2k1k2

k2-k1

)，由于点P在直线x+y=2上，
所以

k1+k2

k2-k1

+

2k1k2

k2-k1

=2，即2k1k2+3k1-k2=0，
故

1

k1

-

3

k2

=2
②设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），联立直线PF₁和椭圆的方程得

y=k1(x+1) x2+2y2=2

，
化简得（2k₁²+1）x²+4k₁²x+2k₁²-2=0，
因此xA+xB=-

4 k 2 1

2 k 2 1 +1

，xAxB=

2 k 2 1 -2

2 k 2 1 +1

，
所以kOA+kOB=

yA

xA

+

yB

xB

=

k1(xA+1)

xA

+

k1(xB+1)

xB

=2k1+k1

xA+xB

xAxB

=k1(2-

4 k 2 1

2 k 2 1 -2

)=-

2k1

k 2 1 -1

，
同理可得：kOC+kOD=-

2k2

k 2 2 -1

，
故由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0得k₁+k₂=0或k₁k₂=1，
当k₁+k₂=0时，由（1）的结论可得k₂=-2，解得P点的坐标为（0，2）
当k₁k₂=1时，由（1）的结论可得k₂=3或k₂=-1（舍去），
此时直线CD的方程为y=3（x-1）与x+y=2联立得x=\frac{5}{4}，y=

3

4

，
所以P(

5

4

，

3

4

)，
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为P(

5

4

，

3

4

)，P（0，2）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题，椭圆的简单性质．考查了学生综合推理能力，基本计算能力．