题目内容

如图,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点C(
3
2
3
2
)
且离心率为
6
3
,A、B是长轴的左右两顶点,P为椭圆上意一点(除A,B外),PD⊥x轴于D,若
PQ
QD
,λ∈(-1,0)

(1)试求椭圆的标准方程;
(2)P在C处时,若∠QAB=2∠PAB,试求过Q、A、D三点的圆的方程;
(3)若直线QB与AP交于点H,问是否存在λ,使得线段OH的长为定值,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)把点C代入椭圆方程可得a,b的一个方程,由离心率为
6
3
,得
c
a
=
6
3
,再结合a2=b2+c2可得a,b;
(2)易知所求圆的直径为AQ,通过解直角三角形可求tan∠PAB,由二倍角的正切公式可求tan∠QAB,从而可得Q点的坐标,进而可得圆心、半径;
(3)设P(x0,y0),H(x,y),由H、A、P三点共线及Q、H、B三点共线可得x,y的方程组,解出x,y,用x0,λ表示出OH2,根据其为定值可得方程,解出即可;
解答:解:(1)由椭圆过点C,得
(
3
2
)2
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1
,即
3
4a2
+
3
4b2
=1
①,
由离心率为
6
3
,得
c
a
=
6
3
,所以
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
2
3
,得a2=3b2②,
联立①②解得a2=3,b2=1,
所以椭圆的标准方程为:
x2
3
+y2=1

(2)由(1)得A(-
3
,0),
当P在C处时,D(
3
2
,0),P(
3
2
3
2
),
tan∠PAB=
PD
AD
=
3
2
3
2
-(-
3
)
=
1
3

则tan∠QAB=
2tan∠PAB
1-tan2∠PAB
=
1
3
1-(
1
3
)2
=
3
4
,则
QD
AD
=
3
4
,QD=
3
4
×
3
3
2
=
9
3
8

所以Q(
3
2
9
3
8
),易知过Q、A、D三点的圆以AQ为直径,则圆心为(-
3
4
9
3
16
),直径AQ=
(
3
2
+
3
)2+(
9
3
8
)2
=
15
3
8

半径为
15
3
16

故所求圆的方程为(x+
3
4
)2+(y-
9
3
16
)2=
675
256

(3)存在λ=-
2
3
满足条件,理由如下:
设P(x0,y0),则D(x0,0),由
PQ
QD
,得(0,yQ-y0)=λ(0,-yQ),可得yQ=
y0
1+λ
,则Q(x0
y0
1+λ
),
设H(x,y),由H、A、P三点共线,得kAH=kAP,即
y
x+
3
=
y0
x0+
3
①,同理由Q、H、B三点共线可得
y
x-
3
=
y0
(1+λ)(x0-
3
)
②,
联立①②解得
x=
(2
3
+
3
λ)x0-3λ
2
3
+(
3
-x0
y=
2
3
y0
2
3
+(
3
-x0
,又点P在椭圆上,所以
x02
3
+y02=1

所以OH2=x2+y2=[
(2
3
+
3
λ)x0-3λ
2
3
+(
3
-x0
]2
+[
2
3
y0
2
3
+(
3
-x0
]2

=[
(2
3
+
3
λ)x0-3λ
2
3
+(
3
-x0
]2
+
12(1-
x02
3
)
[2
3
+(
3
-x0]2

=
(8+12λ+3λ2)x02-6
3
(2λ+λ2)x0+9λ2+12
λ2x02-(4
3
λ+2
3
λ2)x0+3λ2+12λ+12

若线段OH的长为定值,须有
8+12λ+3λ2
λ2
=
-6
3
(2λ+λ2)
-(4
3
λ+2
3
λ2)
=
9λ2+12
3λ2+12λ

解得λ=-
2
3

故存在满足条件的λ=-
2
3
点评:本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,本题综合性强、运算量大,对能力要求很高.
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