题目内容
如图,已知椭圆
+
=1(a>b>0)过点(1,
),离心率为
,左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点.设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.
(Ⅰ)证明:
-
=2;
(Ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)证明:
1 |
k1 |
3 |
k2 |
(Ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)利用待定系数法求椭圆方程,设出P的坐标,表示出斜率,化简可得结论;
(Ⅱ)设出直线的方程与椭圆方程联立,求出斜率,利用kOA+kOB+kOC+kOD=0,即可得到结论.
(Ⅱ)设出直线的方程与椭圆方程联立,求出斜率,利用kOA+kOB+kOC+kOD=0,即可得到结论.
解答:(Ⅰ)证明:因为椭圆
+
=1(a>b>0)过点(1,
),离心率为
,
所以
,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆方程为
+y2=1,F1(-1,0)、F2(1,0)
设P(x0,2-x0),则
=
,
=
,
所以
-
=
-
=
=2…(2分)
(Ⅱ)解:记A、B、C、D坐标分别为(x1,y1)、(x1,y1)、(x1,y1)、(x1,y1).
设直线PF1:x=m1y-1,PF2:x=m2y+1
联立
可得(m12+2)y2-2m1y-1=0…(4分)kOA+kOB=
+
=
+
=
=
,
代入y1y2=
,y1+y2=
可得kOA+kOB=
…(6分)
同理,联立PF2和椭圆方程,可得kOC+kOD=
…(7分)
由
+
=0及m1-3m2=2(由(Ⅰ)得)可解得
,或
,
所以直线方程为
或
,
所以点P的坐标为(0,2)或(
,
)…(10分)
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
所以
|
所以椭圆方程为
x2 |
2 |
设P(x0,2-x0),则
1 |
k1 |
x0+1 |
2-x0 |
1 |
k2 |
x0-1 |
2-x0 |
所以
1 |
k1 |
3 |
k2 |
x0+1 |
2-x0 |
3x0-3 |
2-x0 |
-2x0+4 |
2-x0 |
(Ⅱ)解:记A、B、C、D坐标分别为(x1,y1)、(x1,y1)、(x1,y1)、(x1,y1).
设直线PF1:x=m1y-1,PF2:x=m2y+1
联立
|
y1 |
x1 |
y2 |
x2 |
y1 |
m1y1-1 |
y2 |
m1y2-1 |
mly1y2-y1+m1y1y2-y2 |
(m1y1-1)(m1y2-1) |
2m1y1y2-(y1+y2) |
m12y1y2-m1(y1+y2)+1 |
代入y1y2=
-1 |
m12+2 |
2m1 |
m12+2 |
2m1 |
1-m12 |
同理,联立PF2和椭圆方程,可得kOC+kOD=
2m2 |
1-m22 |
由
2m1 |
1-m12 |
2m2 |
1-m22 |
|
|
所以直线方程为
|
|
所以点P的坐标为(0,2)或(
5 |
4 |
3 |
4 |
点评:本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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