题目内容

精英家教网如图,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(1,
2
2
)
,离心率为
2
2
,左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点.设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2
(Ⅰ)证明:
1
k1
-
3
k2
=2

(Ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)利用待定系数法求椭圆方程,设出P的坐标,表示出斜率,化简可得结论;
(Ⅱ)设出直线的方程与椭圆方程联立,求出斜率,利用kOA+kOB+kOC+kOD=0,即可得到结论.
解答:(Ⅰ)证明:因为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(1,
2
2
)
,离心率为
2
2

所以
1
a2
+
1
2b2
=1
a2-b2
a2
=
1
2
,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆方程为
x2
2
+y2=1
,F1(-1,0)、F2(1,0)
设P(x0,2-x0),则
1
k1
=
x0+1
2-x0
1
k2
=
x0-1
2-x0

所以
1
k1
-
3
k2
=
x0+1
2-x0
-
3x0-3
2-x0
=
-2x0+4
2-x0
=2
…(2分)
(Ⅱ)解:记A、B、C、D坐标分别为(x1,y1)、(x1,y1)、(x1,y1)、(x1,y1).
设直线PF1:x=m1y-1,PF2:x=m2y+1
联立
x=m1y-1
x2
2
+y2=1
可得(m12+2)y2-2m1y-1=0…(4分)kOA+kOB=
y1
x1
+
y2
x2
=
y1
m1y1-1
+
y2
m1y2-1
=
mly1y2-y1+m1y1y2-y2
(m1y1-1)(m1y2-1)
=
2m1y1y2-(y1+y2)
m12y1y2-m1(y1+y2)+1

代入y1y2=
-1
m12+2
y1+y2=
2m1
m12+2
可得kOA+kOB=
2m1
1-m12
…(6分)
同理,联立PF2和椭圆方程,可得kOC+kOD=
2m2
1-m22
…(7分)
2m1
1-m12
+
2m2
1-m22
=0
及m1-3m2=2(由(Ⅰ)得)可解得
m1=
1
2
m2=-
1
2
,或
m1=3
m2=
1
3

所以直线方程为
x=
1
2
y-1
x=-
1
2
y-1
x=3y-1
x=
1
3
y+1

所以点P的坐标为(0,2)或(
5
4
3
4
)
…(10分)
点评:本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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