Question

（本小题满分14分）
动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆
的圆心是曲线上的动点, 圆与轴交于两点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系,
并说明理由.

Answer 1

（本小题满分14分）
(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解法1: 设动点的坐标为,依题意,得,
即,                                           …… 2分
化简得:,
∴曲线的方程为.                                          …… 4分
解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线.
…… 2分
∴曲线的方程为.                                           …… 4分
（2）解: 设点的坐标为,圆的半径为，
∵ 点是抛物线上的动点,
∴().
∴                                      …… 6分

.                                  
∵,∴,则当时,取得最小值为,        …… 8分
依题意得 ,                                              
两边平方得,
解得或(不合题意,舍去).                                      …… 10分
∴,,即.
∴圆的圆心的坐标为.
∵ 圆与轴交于两点，且,
∴ .
∴.                                                 …… 12分
∵点到直线的距离,
∴直线与圆相离.                                                  …… 14分

略