题目内容
1．2016年3月，韩国著名围棋棋手李世石与谷歌A1phaGo的人机大战赛在韩国首尔举行，比赛中采取五局分胜负的方式（即下完五局），获胜者将获得100万美元的奖励，假设在每局比赛中AlphaGo获胜的概率是$\frac{2}{3}$，李世石获胜的概率是$\frac{1}{3}$．（I）求比赛结果为谷歌A1ph8Go以4：1获胜的概率；
（Ⅱ）若将比赛规则改为一方获得三局胜利后就赢得并结束比赛．设X表示比赛的局数，求X的分布列与数学期望．
分析 （Ⅰ）由已知条件利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出比赛结果为谷歌A1ph8Go以4：1获胜的概率．
（2）由题意X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
解答 解：（Ⅰ）∵比赛中采取五局分胜负的方式（即下完五局），
假设在每局比赛中AlphaGo获胜的概率是$\frac{2}{3}$，李世石获胜的概率是$\frac{1}{3}$，
∴比赛结果为谷歌A1ph8Go以4：1获胜的概率：
P=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{5}{243}$．
（2）由题意X的可能取值为3，4，5，
P（X=3）=$（\frac{1}{3}）^{3}+（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）×\frac{1}{3}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$+${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴X的分布列为：
| X | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{1}{3}$ | $\frac{10}{27}$ | $\frac{8}{27}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
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