Question

11．如图，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，AC=2$\sqrt{3}$．
（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；
（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；
（2）由AB+BC=6得到：4sin（$\frac{π}{3}$+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．

解答 解：（1）由正弦定理得：$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{BC}{sinθ}$，
所以BC=4sinθ．
又∵∠C=π-$\frac{π}{3}$-θ，
∴sinC=sin（π-$\frac{π}{3}$-θ）=sin（$\frac{π}{3}$+θ）．
∴$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$即$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{AB}{sin（\frac{π}{3}+θ）}$，
∴AB=4sin（$\frac{π}{3}$+θ）．
（2）由AB+BC=6得到：4sin（$\frac{π}{3}$+θ）+4sinθ=6，
所以，8sin（$\frac{π}{6}$+θ）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
整理，得
sin（$\frac{π}{6}$+θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜$\frac{π}{6}$+θ＜π，
∴$\frac{π}{6}$+θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$+θ=$\frac{2π}{3}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，或θ=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了三角形形状的判断．解题时，利用了正弦定理，和差化积公式等知识点，属于基础题．