Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=$\frac{π}{4}，cosB=\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{2}，b=\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式即可求出；
（Ⅱ）根据三角形的面积公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$cosB=\frac{4}{5}＞0$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$
∴$cosC=cos[π-（\frac{π}{4}+B）]=-cos（\frac{π}{4}+B）$，
=$-（cos\frac{π}{4}cosB-sin\frac{π}{4}sinB）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{3}{5}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{4}{5}=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinC=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
∵$a=2\sqrt{2}，b=\sqrt{5}$
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•\sqrt{5}•\frac{{7\sqrt{2}}}{10}=\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式，三角形的面积公式，属于基础题．