Question

【题目】已知平面多边形中，，，，，，为的中点，现将三角形沿折起，使.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连，即可证明，结合即可证明四边形为平行四边形，问题得证。

（2）取中点，连接，，先说明平面，即可求得三角形为等边三角形，取的中点，先说明平面，利用体积变换及中点关系，将转化成，问题得解。

解：（1）取的中点，连.

∵为中点，∴为的中位线，

∴.

又，∴，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）由题意知为等腰直角三角形，为直角梯形.

取中点，连接，，

∵，∴，

∵，，，∴平面，

∴平面，∵平面，∴.

∴在直角三角形中，，，∴，

∴三角形为等边三角形.

取的中点，则，，，

∴平面，，

∵为的中点，∴到平面的距离等于到平面的距离的一半，

∴

.