Question

【题目】如图，在多面体中，四边形是菱形，，四边形是直角梯形，，，.

（Ⅰ）证明：平面.

（Ⅱ）若平面平面，为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，，结合已知条件，得四边形为平行四边形，进而得为平行四边形，由线面平行的判定定理得CE∥平面ADF．

（Ⅱ）取CD中点N，以A为原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．

（Ⅰ）取的中点，连接，，如图所示，因为，四边形是直角梯形，

得且，所以四边形为平行四边形，即且.

又因为四边形是菱形，所以，进而，得为平行四边形，

即有，又平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中点，在菱形中，，可得.因为平面平面，

平面平面，平面，，所以平面.

以为坐标原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

故，，，，，，.

设平面的一个法向量为，则有即

令可得.

易知平面的一个法向量为.

设平面与平面所成的锐二面角为，则,

即所求二面角的余弦值为.