题目内容
【题目】已知函数
（
，
是自然对数的底数）
(Ⅰ) 设
（其中
是
的导数），求
的极小值；
(Ⅱ) 若对
，都有
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ) 
【解析】
(Ⅰ)求出
，分别令
求得
的范围，可得函数
增区间，
求得的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
在
上单调递增，在(0，1)上单调递减，
.讨论当
时，当
时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数
的取值范围.
(Ⅰ)
，
.
令
，∴
，
∴在
上为增函数，
.
∵当
时，
；当
时，
，
∴的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，
∴
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴.
当时，
，
在
上单调递增，
，满足条件；
当时，
.
又∵
，∴
，使得
，
此时，
，
；
，
，
∴在
上单调递减，，都有
，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为
.
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