Question

12．已知函数f（x）=mx³-3x²+n-2（m≠0）．
（1）若f（x）在x=1处取得极小值1，求实数m，n的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在x∈[-1，2]的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程组，解出检验即可；
（2）求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：函数f（x）的定义域是R，f′（x）=3mx（x-$\frac{2}{m}$），
（1）∵f（x）在x=1处取得极小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m-3+n-2=1}\\{3m-6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，经检验符合题意；
（2）由（1）得：f′（x）=6x（x-1），
x∈（-1，0）∪（1，2）时，f′（x）＞0，
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0），（1，2）递增，在（0，1）递减，
∴f（x）_max=max{f（0），f（2）}，而f（0）=2，f（2）=6，
∴f（x）_max=f（2）=6．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．