题目内容
4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．
分析 （Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的方程ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0 ，由题意可知${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}$．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得t1+t2的值，可得|PM|=|t0|的值．
解答 解：（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程为x2=y，
它是开口向上的抛物线，焦点坐标为$（{0，\frac{1}{4}}）$．
（Ⅱ）点P的直角坐标为（-2，0），它在直线l上，在直线l的参数方程中，
设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0 ，由题意可知${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}$．
把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得${t^2}-5\sqrt{2}t+8=0$．
因为$△=（5\sqrt{2}{）^2}-4×8=18＞0$，
所以${t_1}+{t_2}=5\sqrt{2}，\;\;\;\;\;则|{PM}|=|{t_0}|=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．
点评 本题主要考查参数方程和极坐标的应用，参数的几何意义，属于基础题．
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| A． | [-2，2] | B． | [2，+∞） | C． | [0，+∞） | D． | （-∞，-2]∪[2，+∞） |