Question

19．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x}$在[2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x}$=ax+$\frac{1}{x}$+1，
函数的导数f′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵$\frac{1}{{x}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$，
即实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞），
故答案为：[$\frac{1}{4}$，+∞）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数利用函数单调性和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．