Question

（本题满分分）

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数

，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，

 ，   切线的方程为：，

又切线过点， 有，

即，   ………………………………………………（1）  …… 2分

同理，由切线也过点，得．…………（2）

由（1）、（2），可得是方程的两根，

   ………………（ * ）             ……………………… 4分

           ，

把（ * ）式代入,得,

因此，函数的表达式为．   ……………………5分

（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，

即＝，化简，得，

，．       ………………（3）     …………… 7分

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得点、与三点共线，且 ．       ……………………9分

（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，

，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，   …………11分

，

即对一切的正整数恒成立，．

， ，

．

由于为正整数，．                   ……………………………13分

又当时，存在，，对所有的满足条件．

因此，的最大值为．                       ……………………………14分

解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．

，长度最小的区间为，           …………………11分

当时，与解法相同分析，得，

解得．                             ……………………………13分

后面解题步骤与解法相同（略）．