Question

15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{b，-\sqrt{3}a}）$与$\overrightarrow n=（{cosA，sinB}）$垂直．
（1）求A；
（2）若B+$\frac{π}{12}$=A，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=bcosA-$\sqrt{3}$asinB=0，利用正弦定理可得sinBcosA-$\sqrt{3}$sinAsinB=0，sinB≠0，解得A．
（2）B+$\frac{π}{12}$=A，可得B=$\frac{π}{12}$，C=$\frac{3π}{4}$．由正弦定理可得c，又sin$\frac{π}{12}$=sin$（\frac{π}{4}-\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=bcosA-$\sqrt{3}$asinB=0，
∴sinBcosA-$\sqrt{3}$sinAsinB=0，sinB≠0，
解得tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A∈（0，π），解得A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵B+$\frac{π}{12}$=A，∴B=$\frac{π}{12}$，C=$\frac{3π}{4}$．
由正弦定理可得：$\frac{2}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{c}{sin\frac{3π}{4}}$，解得c=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
又sin$\frac{π}{12}$=sin$（\frac{π}{4}-\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×$2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．