题目内容
（22）如图，F为双曲线C：
的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于
轴上方，M为左准线上一点，
为坐标原点。已知四边形
为平行四边形，
。（Ⅰ）写出双曲线C的离心率
与
的关系式；
（Ⅱ）当
时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若
，求此时的双曲线方程。
(22)本小题主要考查直线方程、双曲线的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力及推理能力.
(Ⅰ)解法1:设为与双曲线右准线的交点,则
.
即
解法2：设
为PM与双曲线右准线的交点，N为左准线与x轴的交点，F（c,0）,P(
)，由于P(
)在双曲线右支上，则
①
②
由|PF|=
得
③
由①、②代入③得
再将c=ea,b=a
代入上式，得
化简，得
④
由题意，点P位于双曲线右支上，从而
|PM|＞|M
|.
于是
解得e=2，
从而c=2a,b=
由此得双曲线的方程是
．
下面确定a的值。
解法1：
设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为(
)，则
|ON|=
|MN|=
由于P(
)在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而
所以直线OP的斜率为
。
设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为A（
)、B(
)，则直线AB的斜率为
，直线AB的方程为
将其代入双曲线方程整理得
∵ 
∴ |AB|=
由|AB|=12得a=1.于是，所求双曲线的方程为
解法2：由条件
OFPM为菱形，其对角线OP与FM互相垂直平分，其交点Q为OP的中点。
设OP的方程为
则FM的方程为
由
解得Q点的坐标为（
），
所以P点的坐标为（
）.
将P点的坐标代入双曲线方程，化简得
解得
设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为
、
，则直线AB的斜率为
，直线AB的方程为
将其代入双曲线方程，整理得
∵ 
∴
由|AB|=12得a=1.于是，所求双曲线的方程为
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如图，F为双曲线
如图，F为双曲线
如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．
（a>0,b>0）的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=
|OF|。
的关系式：
=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。