Question

（22）如图，F为双曲线C：（a>0,b>0）的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=|OF|。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与的关系式：

（Ⅱ）写=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。

                               

Answer 1

本小题主要考查直线方程、双曲线的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力及推理能力。

（Ⅰ）解法1：设为PM与双曲线右准线的交点，F（c,o），则

                         

∵                                             

                     

∴                                                 

即                                                 

解法2：设为PM与双曲线右准线的交点，N为左准线与x轴的交点，

由于在双曲线右支上，则

                          ①

                         ②

由|PF|=得

                       ③                        

将①、②代入③得      

再将

       

化简，得

                                   ④                           

由题意，点P位于双曲线右支上，从而

|PM|>|M|.

于是由④式得

        

（II）解：当时，由解得e=2，

从而c=2a,b=

由此得双曲线的方程是

       

下面确定a的值。

解法1：

设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为（），则

        

        

由于P（）在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而

所以直线OP的斜率为

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为、，则直线AB的斜率为直线AB的方程为

      

将其代入双曲线方程整理得

       

∵     

∴

  

  

由|AB|=12得a=1，于是，所求双曲线的方程为

       

解法2：由条件知□OFPM为菱形，其对角线OP与FM互相垂直平分，其交点Q为OP的中点。

设OP的方程为y=kx(k>o),则FM的方程为

                                

由解得Q点的坐标为（），

所以P点的坐标为（）.

将P点的坐标代入双曲线方程，化简得

       

解得

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为、，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为

将其代入双曲线方程，整理得

        

∵     

∴

     

由|AB|=12得a=1.于是，所求双曲线的方程为