Question

如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设

FB

=λ

FA

，当λ∈[6，+∞）时，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|=c-

a2

c

=1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

=λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y=k(x+2) x2-y2=2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则c²=a²+b²，|FQ|=c-

a2

c

=1，∴b²=c．------------------------（2分）
又M(-c+

1

2

，

1

2

)在双曲线上，∴

( 1 2 -c)2

a2

-

( 1 2 )2

b2

=1．
联立①②③，解得a=b=

2

，c=2．∴双曲线方程为x²-y²=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得e=

2

，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由

FB

=λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

y=k(x+2) x2-y2=2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

．△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²）．
由y₂=λy₁，y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

，---------------------（8分）
消去y₁，y₂，
得

8

1-k2

=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2．------------------------（9分）
∵λ≥6，函数g(λ)=λ+

1

λ

+2在（1，+∞）上单调递增，
∴

8

1-k2

≥6+

1

6

+2=

49

6

，∴k2≥

1

49

．------------------------（10分）
又直线m与双曲线的两支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0两根同号，
∴k²＜1．------------------------------------------------（11分）
∴

1

49

≤k2＜1，故．------------------------（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．