Question

如图，F为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点，已知四边形OFPM为平行四形，|

PF

|=λ|

OF

|．写出双曲线C的离心率e与λ的关系式．

Answer 1

分析：作双曲线的右准线交PM于H，由平行四边形OFPM的性质和双曲线中的基本概念，算出|PH|=|OF|-|MH|=c-

2a2

c

，再根据圆锥曲线的统一定义列式，结合题意化简整理，即可得到离心率e与λ的关系式．

解答：解：∵四边形OFPM是平行四边形，∴|OF|=|PM|=c，
作双曲线的右准线，交PM于H，
则|PM|=|PH|+|MH|=|OF|，可得|PH|=|OF|-|MH|=c-

2a2

c

，
由圆锥曲线的统一定义，得

|PF|

|PH|

=e，
结合|

PF

|=λ|

OF

|，得

λ|OF|

c- 2a2 c

=e即

λc

c- 2a2 c

=e，
∴

λ

1- 2a2 c2

=

λ

1- 2 e2

=e，
去分母化简得e²-λe-2=0，即为所求离心率e与λ的关系式．

点评：本题给出双曲线满足的条件，求关于离心率e的关系式．着重考查了双曲线的定义与标准方程、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．