Question

8．如图，在四边形ABDC中，CD=$\sqrt{3}$，∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求AB的长．

Answer 1

分析 先计算AC，AD，由正弦定理可得BC，再由余弦定理可得AB．

解答 解：∵∠ADC=30°，且∠ACB=75°，∠BCD=45°，
∴∠CAD=30°      
∴AC=CD=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{3+3-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×（-\frac{1}{2}）}$=3．
又∵∠CBD=60°，
∴由正弦定理可得BC=$\frac{\sqrt{3}sin75°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
∴由余弦定理可得AB=$\sqrt{3+（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}-2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．