Question

13．一个三角形的两边长是方程2x²-$\sqrt{k}$x+2=0的两根，第三边长为2，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 先根据方程有两个实数根求出k的取值范围，再根据韦达定理求出x₁+x₂及x₁x₂的值，根据三角形的三边关系即可得出结论．

解答 解：∵三角形的两边长是方程2x²-$\sqrt{k}$x+2=0的两个根，
∴△≥0，即△=（-$\sqrt{k}$）²-16≥0，解得k≥16．
∵x₁+x₂=$\frac{\sqrt{k}}{2}$＞2，x₁x₂=1，|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{k}{4}-4}$＜2，
∴16＜k＜32．
综上所述，16＜k＜32．

点评 本题考查三角形中的几何计算，考查韦达定理的运用，考查构成三角形条件的运用，比较基础．