Question

3．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₃=7，且a₅+a₇=26，
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-4}}$，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质求出首项和公差，再代入通项公式和求和公式即可；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-4}}$═$\frac{1}{（{a}_{n}+2）（{a}_{n}-2）}$，使用裂项法数列求和．

解答 解：（I）∵{a_n}为等差数列，∴2a₆=a₅+a₇=26，即a₆=13，
∴3d=a₆-a₃=6，即d=2，
∴a₁=a₃-2d=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=n²+2n．
（II）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+2）（{a}_{n}-2）}$=$\frac{1}{（2n+3）（2n-1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}$）．
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}-\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n+1}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$+$\frac{1}{5}-\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4（2n+1）}$-$\frac{1}{4（2n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．