Question

16．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．
（1）求证：C′E⊥平面BCE；
（2）若AC=2，求三棱锥B′-ECB的体积．

Answer 1

分析 （1）证明C′E⊥EC，利用C′E⊥BE，CE∩BE=E，即可证明C′E⊥平面BCE；
（2）利用等体积转化求三棱锥B′-ECB的体积．

解答 （1）证明：在矩形A′ACC′中，E为A′A中点且AA′=2AC，
∴EA=AC，EA′=A′C′，
∴∠AEC=∠A′EC=45°，
∴C′E⊥EC，
∵C′E⊥BE，CE∩BE=E，
∴C′E⊥平面BCE；
（2）解：∵B′C′∥BC，B′C′?平面BCE，BC?平面BCE，
∴B′C′∥平面BCE，
∴V_B′-ECB=V_C′-ECB，
∵C′E⊥平面BCE，
∴C′E⊥BC，
∵BC⊥CC′，C′E∩CC′=C′，
∴BC⊥平面ACC′A′′∴BC⊥CE，
∵AC=2，
∴BC=2，EC=EC′=2$\sqrt{2}$，
∴V_B′-ECB=V_C′-ECB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．