Question

9．三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则此三棱锥外接球的表面积为50π．

Answer 1

分析 根据已知中PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，可得三棱锥P-ABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC、AC、AB的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．

解答 解：PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则该三棱锥P-ABC的外接球
即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，
故2R=$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$
故R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，三棱锥外接球的表面积为50π．
故答案为50π

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P-ABC的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键．