Question

若椭圆的焦点在x轴上，过点（2，1）作圆x²+y²=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a，求出椭圆方程．
解答：解：设切点坐标为（m，n）则
=-1即m²+n²-n-2m=0
∵m²+n²=4
∴2m+n-4=0
即AB的直线方程为2x+y-4=0
∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点
∴2c-4=0；b-4=0
解得c=2，b=4
所以a²=b²+c²=20
故椭圆方程为
故答案为：．
点评：本题考查椭圆方程的求法，圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：a²=b²+c²，考查计算能力．