Question

一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点在x轴上且短轴长为8，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆基本量的平方关系和等差中项列式，解关于a、c的方程得c=

3

5

a，即可得到该椭圆的离心率；
（2）设出椭圆标准方程，由b=4结合（1）的结论算出a=3，从而得到该椭圆的标准方程．

解答：解：（1）∵长轴长、短轴长和焦距成等差数列
∴2b=a+c，平方得4（a²-c²）=（a+c）²
化简得5c²+2ac-3a²=0，解之得c=

3

5

a
因此，该椭圆的离心率e=

c

a

=

3

5

；
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由（1）得2b=8，得b=4=

a2-c2

结合c=

3

5

a，解得a=5
∴椭圆的标准方程是

x2

25

+

y2

16

=1．

点评：本题给出椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，并依此在短轴长为8的情况下求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、等差数列等知识，属于中档题．