Question

【题目】已知函数f（x）＝logax，g（x）＝m2x2﹣2mx+1，若b＞a＞1，且f（b），ab＝ba．

（1）求a与b的值；

（2）当x∈[0，1]时，函数g（x）的图象与h（x）＝f（x+1）+m的图象仅有一个交点，求正实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝4．（2）（0，1]∪[3，+∞）．

【解析】

（1）利用以及列方程组，由此求解出的值.

（2）首先求得、的单调区间，将分成两种情况，结合与图象仅有一个交点进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（1）f（x）＝logax，（a＞1），

若b＞a，且，

可得或，

因为b＞a＞1，所以logab＞1，

所以logab＝2，即a2＝b，

因为ab＝ba

所以，

所以a2＝2a，

解之得a＝2，b＝4．

（2）因为m为正数，g（x）＝m2x2﹣2mx+1＝（mx﹣1）2为二次函数，

在区间为减函数，在区间为增函数，

函数y＝log2（x+1）+m 为上的增函数，

分两种情况讨论：

①当0＜m≤1 时，，在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2为减函数，值域为[（m﹣1）2，1]，

函数y＝log2（x+1）+m 为增函数，值域为[m，m+1]，此时两个函数图象有一个交点，符合题意；

②当m＞1，得，在区间 上，y＝（mx﹣1）2为减函数，在区间 为增函数，

函数y＝log2（x+1）+m 为增函数，值域为[m，m+1]，

若两个函数图象有一个交点，则有（m﹣1）2≥m+1，解之得m≤0 或m≥3，

因为m为正数，则m≥3；

综上m的取值范围为（0，1]∪[3，+∞）．