Question

已知x，y都在区间（0，1]内，且xy=

1

3

，若关于x，y的方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0有两组不同的解（x，y），则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由xy=

1

3

解得y=

1

3x

，代入方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0化为（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4=0，及t＞1．
令f（x）=（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4，x∈（0，1]．由于关于x，y的方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0有两组不同的解（x，y）．因此函数f（x）在（0，1]内有两个零点．利用二次函数的有关性质即可得出．

解答：解：由xy=

1

3

解得y=

1

3x

，代入方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0化为（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4=0．
可得t＞1．
令f（x）=（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4，x∈（0，1]．
∵关于x，y的方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0有两组不同的解（x，y），
∴函数f（x）在（0，1]内有两个零点．
∴必有

f(0)＞0 f(1)≥0 0＜- 72-37t 2(9t-9) ＜1

及t＞1，解得

72

37

＜t≤

59

24

．
故t的取值范围是(

72

37

，

59

24

]．
故答案为：(

72

37

，

59

24

]．

点评：本题考查了利用二次函数的零点解决方程的解的问题、考查了问题的转化能力，考查了分析问题和夹角问题的能力，属于难题．