题目内容

13．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y-4=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为$（4，\frac{π}{2}）$，求过点P且与直线l垂直的直线方程
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

分析 （1）在极坐标系中，首先点P的极坐标为$（4，\frac{π}{2}）$，转化为直角坐标为P（0，4），进一步求得直线l的方程为x-y-4=0的斜率为1，最后利用直线垂直的充要条件求出相应的直线方程x+y-4=0．
（2）首先设Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα）为曲线C上的动点，直接利用点到直线x-y-4=0的距离公式，再利用三角函数的恒等变换求出相应的结果．

解答 解：（1）在极坐标系中，点P的极坐标为$（4，\frac{π}{2}）$，转化为直角坐标为P（0，4），
直线l的方程为x-y-4=0的斜率为1，
则：过点P且与直线l垂直的直线方程为：y-4=-x，
整理得：x+y-4=0．
（2）设Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα）为曲线C上的动点，
则到直线l：x-y-4=0的距离：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$，
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
当$α=\frac{π}{6}$时，${d}_{min}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，直线垂直的充要条件，直线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角函数的最值，属于基础题型．

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