Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+b}{x}$（x≠0）是奇函数，且满足f（1）=f（4）
（1）求实数a，b的值；
（2）试证明函数f（x）在区间（0，2]上单调递减；
（3）是否存在实数k同时满足以下两个条件：①不等式f（x）+$\frac{2k}{3}$＞0对x∈（0，+∞）恒成立；②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解？若存在，试求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=f（4）求出b的值，利用f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+b}{x}$（x≠0）为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，求出a的值；
（2）根据函数单调性，即可得出结论；
（3）分别求出满足两个条件的实数k的取值范围，即可得出结论

解答 解：（1）由f（1）=f（4）得1+a+b=$\frac{16+4a+b}{4}$，
解得b=4．…（2分）
由f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+b}{x}$（x≠0）为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，
即$\frac{{x}^{2}+ax+b}{x}$+$\frac{{x}^{2}-ax+b}{-x}$=2a=0，
所以a=0．…（4分）
证明：（2）由（1）知，f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
证法一：任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂） $\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，…（6分）
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f（x）在区间（0，2]上单调递减．…（9分）
证法二：∵f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，…（6分）
∵x∈（0，2]时，f′（x）≤0恒成立，
所以，函数f（x）在区间（0，2]上单调递减．…（9分）
解：（3）对于条件①：由（2）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值f（2）=4．
故若f（x）+$\frac{2k}{3}$＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则需f（x）_min＞-$\frac{2k}{3}$，
则4＞-$\frac{2k}{3}$，∴k＞-6．…（10分）
对于条件②：由（2）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，在[-2，0）单调递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，
又f（-6）=-$\frac{20}{3}$，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-$\frac{20}{3}$，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，则需-$\frac{20}{3}$≤k≤-4．…（12分）
若同时满足条件①②，
则需-6＜k≤-4．
答：当-6＜k≤-4时，条件①②同时满足．…（14分）

点评 本题考查函数的性质，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．