Question

9．在椭圆4x²+y²=4上任取一点P，设P在x轴上的正投影为点D，当点P在椭圆上运动时，动点MM满足$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$，则动点M的轨迹是（　　）

• A． 焦点在x轴上的椭圆
• B． 焦点在y轴上的椭圆
• C． 圆
• D． 无法确定

Answer 1

分析 由题意可知：P（x₀，y₀），D（x₀，0），M（x，y），则$\overrightarrow{PD}$=（0，-y₀），$\overrightarrow{MD}$=（x-x₀，-y），由$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$，即（0，-y₀）=2（x-x₀，-y），因此$\left\{\begin{array}{l}{0=2（x-{x}_{0}）}\\{-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$，整理可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，代入椭圆${x}_{0}^{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，即可求得动点M的轨迹方程x²+y²=1，因此动点M的轨迹是圆．

解答 解：由椭圆${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知焦点在y轴上，
设P（x₀，y₀），D（x₀，0），M（x，y），
由题意可知：$\overrightarrow{PD}$=（0，-y₀），$\overrightarrow{MD}$=（x-x₀，-y），
由$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$，即（0，-y₀）=2（x-x₀，-y），
则$\left\{\begin{array}{l}{0=2（x-{x}_{0}）}\\{-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
由P（x₀，y₀）在${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上，则${x}_{0}^{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，
∴x²+y²=1，
动点M的轨迹是圆，
故选：C．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．