题目内容
若数列{an}的通项公式为an=（1+
）n，试证：（1）数列{an}为递增数列；
（2）2≤an≤3．
【答案】分析：（1）由题设条件知an=1+Cn1
+Cn2（
）2+…+Cnn（
）n，an+1=（1+
）n+1
=1+Cn+11
+Cn+12（
）2+…+Cn+1n（
）n+1．由此可知an＜an+1，即{an}为递增数列．
（2）由题意知an=1+Cn1
+Cn2（
）2++Cnn（
）n≥1+Cn1
=2，由此可知an=1+Cn1
+Cn2（
）2++Cnn（
）n≤2+
+
+…+
=3-
＜3．
解答：证明：（1）an=（1+
）n=1+Cn1
+Cn2（
）2+…+Cnn（
）n，an+1=（1+
）n+1
=1+Cn+11
+Cn+12（
）2+…+Cn+1n（
）n+1．
可观察Cn+1k（
）k与Cnk（
）k，当k=0，1时，
Cn+1k（
）k=Cnk（
）k；当k=2，3，4，，n时，
Cn+1k（
）k＞Cnk（
）k．∴an＜an+1，即{an}为递增数列．
（2）∵an=（1+
）n
=1+Cn1
+Cn2（
）2++Cnn（
）n≥1+Cn1
=2，
又an=（1+
）n=1+Cn1
+Cn2（
）2++Cnn（
）n≤2+
+
+…+
=3-
＜3．
点评：解：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．
+Cn2（）2+…+Cnn（）n，an+1=（1+）n+1=1+Cn+11
+Cn+12（）2+…+Cn+1n（）n+1．由此可知an＜an+1，即{an}为递增数列．（2）由题意知an=1+Cn1
+Cn2（）2++Cnn（）n≥1+Cn1=2，由此可知an=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≤2+++…+=3-＜3．解答：证明：（1）an=（1+
）n=1+Cn1+Cn2（）2+…+Cnn（）n，an+1=（1+）n+1=1+Cn+11
+Cn+12（）2+…+Cn+1n（）n+1．可观察Cn+1k（
）k与Cnk（）k，当k=0，1时，Cn+1k（
）k=Cnk（）k；当k=2，3，4，，n时，Cn+1k（
）k＞Cnk（）k．∴an＜an+1，即{an}为递增数列．（2）∵an=（1+
）n=1+Cn1
+Cn2（）2++Cnn（）n≥1+Cn1=2，又an=（1+
）n=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≤2+++…+=3-＜3．点评：解：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．
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