Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．
（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；
（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．
解答：解：（1）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，
则解得（4分）
所以，所求的区间为[-1，1]；（5分）
（2）取x₁=1，x₂=10，则，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取，
，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，
从而该函数不是闭函数；（9分）
（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即，∴a，b为方程的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根（11分）
当k≤-2时，有，解得，（13分）
当k＞-2时，有，无解，（15分）
综上所述，．
点评：考查函数的单调性及新定义型函数的理解，以及问题的等价转化能力．