题目内容

对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的“等值区间”.给出下列三个函数:
f(x)=(
12
)x
;   ②f(x)=x3;    ③f(x)=log2x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是
2
2
分析:根据“等值区间”的定义,要想说明函数存在“等值区间”,只要举出一个符合定义的区间M即可,但要说明函数没有“等值区间”,可以用反证明法来说明.由此对四个函数逐一进行判断,即可得到答案.
解答:解:①对于函数f(x)=(
1
2
)
x
,若存在“等值区间”[a,b],由于函数是定义域内的减函数,故有(
1
2
)
b
=a,(
1
2
)
a
=b,即(a,b),(b,a)点均在函数图象上,且两点关于y=x对称,两点只能同时是函数f(x)=(
1
2
)
x
,与函数y=log
1
2
x
图象的唯一交点.即只能是a=b,故①不存在“等值区间”.
②对于函数f(x)=x3存在“等值区间”,如 x∈[0,1]时,f(x)=x3∈[0,1].
③对于 f(x)=log2x+1,由于函数是定义域内的增函数,故在区间[1,2]上有f(1)=1,f(2)=2,所以函数存在“等值区间”[1,2].
存在“等值区间”的函数的个数是2个
故答案为:2
点评:本题给出函数“稳定区间”的概念,要我们在几个函数中找出存在“稳定区间”函数的个数.着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识,属于中档题.
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