题目内容

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)=
3
4
x+
1
x
(x>0)是否为闭函数?并说明理由.
分析:(1)可设区间[a,b]满足条件,则[f(b),f(a)]与它相同,从而求得a、b的值;
(2)x>0时,f(x)有最小值,不是定义域上的增函数或减函数,从而知f(x)不是闭函数.
解答:解:(1)由题意,函数y=-x3是R上的减函数,若满足x∈[a,b]⊆R,且f(x)的值域为[a,b];则f(a)=-a3,f(b)=-b3
b=-a3
a=-b3
,且b>a;解得
a=-1
b=1

所以,所求的区间为[-1,1].
(2)∵当x>0时,f(x)=
3
4
x+
1
x
≥2
3
4
x•
1
x
=
3
,当且仅当
3
4
x=
1
x
,即x=
2
3
时“=”成立,
∴f(x)不是(0,+∞)上的增函数或减函数;
所以,函数f(x)不是(0,+∞)上的闭函数.
点评:本题考查了新定义下的数学问题,利用题目中的定义来解答数学问题,有一定的挑战性.
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