题目内容

对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)求证:函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”.
(2)已知:函数y=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n-m的最大值.
(3)易知,函数y=x是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”.试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和谐区间”.(不需证明,但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函数为例)
分析:(1)由题意可得函数的定义域(-∞,0)∪(0.+∞),故可设[m,n]是已知函数定义域的子集.而函数y=3-
5
x
m,&n
上单调递增.假设[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
g(m)=m
g(n)=n
,通过判断方程的解的存在情况进行判断是否存在和谐区间
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.由题意可得[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
若函数y=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],由题意可得函数y=
(a2+a)x-1
a2x
=
a+1
a
-
1
a2x
在[m,n]上单调递增.,则
f(m)=m
f(n)=n
,故m、n是方程
a+1
a
-
1
a2x
=x
,即a2x-(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根,利用一元二次方程有两个不同的实根的条件可求a>3或 a<-1而n-m=
(n+m)2-4mn
=
-3(
1
a
-
1
3
)
2
+
4
3
,由二次函数的性质可求
(3)可以举常见的基本初等函数,如y=-x+2,y=sin
π
2
x
y=
1-x2
即可.
解答:解:(1)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数y=3-
5
x
在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
g(m)=m
g(n)=n
(4分)
故m、n是方程3-
5
x
=x
的同号的相异实数根.∵x2-3x+5=0无实数根,
∴函数y=3-
5
x
不存在“和谐区间”.(6分)
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数y=
(a2+a)x-1
a2x
=
a+1
a
-
1
a2x
在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
f(m)=m
f(n)=n
(10分)
故m、n是方程
a+1
a
-
1
a2x
=x
,即a2x-(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根.
mn=
1
a2
>0

∴m,n同号,只须△=a2(a+3)(a-1)>0,即a>1或a<-3时,已知函数有“和谐区间”[m,n]
,∵n-m=
(n+m)2-4mn
=
-3(
1
a
-
1
3
)
2
+
4
3

∴当a=3时,n-m取最大值
2
3
3
(14分)
(3)如:y=-x+2和谐区间为、[0,2,],[-1,3,],
当a+b=2的区间[a,b];y=sin
π
2
x
和谐区间为[0,1]
y=
1-x2
和谐区间为[-1,0](18分)
点评:本题主要以新定义为载体,综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解,考查了利用已学知识解决新问题的能力,考查了推理运算的能力,本题综合性较强.
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