题目内容
对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)求证:函数y=g(x)=3-
5 |
x |
(2)已知:函数y=
(a2+a)x-1 |
a2x |
(3)易知,函数y=x是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”.试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和谐区间”.(不需证明,但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c |
ax |
分析:(1)由题意可得函数的定义域(-∞,0)∪(0.+∞),故可设[m,n]是已知函数定义域的子集.而函数y=3-
在
上单调递增.假设[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
,通过判断方程的解的存在情况进行判断是否存在和谐区间
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.由题意可得[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
若函数y=
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],由题意可得函数y=
=
-
在[m,n]上单调递增.,则
,故m、n是方程
-
=x,即a2x-(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根,利用一元二次方程有两个不同的实根的条件可求a>3或 a<-1而n-m=
=
,由二次函数的性质可求
(3)可以举常见的基本初等函数,如y=-x+2,y=sin
x,y=
即可.
5 |
x |
|
|
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.由题意可得[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
若函数y=
(a2+a)x-1 |
a2x |
(a2+a)x-1 |
a2x |
a+1 |
a |
1 |
a2x |
|
a+1 |
a |
1 |
a2x |
(n+m)2-4mn |
-3(
|
(3)可以举常见的基本初等函数,如y=-x+2,y=sin
π |
2 |
1-x2 |
解答:解:(1)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数y=3-
在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
(4分)
故m、n是方程3-
=x的同号的相异实数根.∵x2-3x+5=0无实数根,
∴函数y=3-
不存在“和谐区间”.(6分)
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数y=
=
-
在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
(10分)
故m、n是方程
-
=x,即a2x-(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根.
∵mn=
>0,
∴m,n同号,只须△=a2(a+3)(a-1)>0,即a>1或a<-3时,已知函数有“和谐区间”[m,n]
,∵n-m=
=
,
∴当a=3时,n-m取最大值
(14分)
(3)如:y=-x+2和谐区间为、[0,2,],[-1,3,],
当a+b=2的区间[a,b];y=sin
x和谐区间为[0,1]
y=
和谐区间为[-1,0](18分)
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数y=3-
5 |
x |
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
|
故m、n是方程3-
5 |
x |
∴函数y=3-
5 |
x |
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数y=
(a2+a)x-1 |
a2x |
a+1 |
a |
1 |
a2x |
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
|
故m、n是方程
a+1 |
a |
1 |
a2x |
∵mn=
1 |
a2 |
∴m,n同号,只须△=a2(a+3)(a-1)>0,即a>1或a<-3时,已知函数有“和谐区间”[m,n]
,∵n-m=
(n+m)2-4mn |
-3(
|
∴当a=3时,n-m取最大值
2
| ||
3 |
(3)如:y=-x+2和谐区间为、[0,2,],[-1,3,],
当a+b=2的区间[a,b];y=sin
π |
2 |
y=
1-x2 |
点评:本题主要以新定义为载体,综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解,考查了利用已学知识解决新问题的能力,考查了推理运算的能力,本题综合性较强.
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