题目内容

对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；
（Ⅱ）判断函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．
（Ⅲ）若函数g(x)=
x+4
+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．
分析：（Ⅰ）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求y=x3符合条件的“和谐”区间；
（Ⅱ）判断函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否满足“和谐”函数？的条件即可．
（Ⅲ）根据函数g（x）是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）因为y=x3是单调递增函数，
所以有
a3=a
b3=b
a＜b
⇒
a=-1
b=1
a=-1
b=0
a=0
b=1
，
即[a，b]=[-1，1]或[a，b]=[-1，0]或[a，b]=[0，1]．
（Ⅱ）函数f(x)=x+
4
x
在（0，+∞）上不单调（说明），不是“和谐”函数．
（Ⅲ）若g(x)=
x+4
+m是“和谐”函数．
设-4≤x1＜x2，
则g(x1)-g(x2)=
x1+4
-
x2+4
=
(x1+4)-(x2+4)
x1+4
+
x2+4
＜0，
所以g(x)=
x+4
+m是单调递增函数．
若它是“和谐”函数，则必具备方程x=
x+4
+m有两个不相同的实数解，
即方程x2-（2m+1）x+m2-4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于-4和m．若令h（x）=x2-（2m+1）x+m2-4，
则
△＞0
2m+1
2
＞-4
h(-4)≥0
x≥m
⇒m∈(-
17
4
，-4]．
另解：方程x=
x+4
+m有两个不相同的实数解，
等价于两函数y1=x-m与y2=
x+4
的图象有两个不同的交点，当直线过（-4，0）时，m=-4；
直线与抛物线相切时m=-
17
4
，∴m∈(-
17
4
，-4]．
若它是“和谐”函数，则必具备方程x=
x+4
+m有两个不相同的实数解，
即方程x2-（2m+1）x+m2-4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于-4和m．
若令h（x）=x2-（2m+1）x+m2-4，
则
△＞0
2m+1
2
＞-4
h(-4)≥0
x≥m
⇒m∈(-
17
4
，-4]．
点评：本题主要考查“和谐”函数的定义及应用，正确理解“和谐”函数的定义是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函数为例）
对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是
2
2
．
对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．
（2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是
③
③
．（写出所有满足要求的函数的序号）

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