Question

【题目】已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】②

【解析】

①根据题意，将函数的零点个数问题，转换为对应函数图像的交点个数问题，分别判断，两种情况下，函数零点的个数情况，即可判断出结果；

②根据题意，先令，画出函数的图像，结合函数零点个数以及函数图像，判断方程根的分布情况，以及方程根的个数情况，即可判断出结果；

③根据题意，只需判断出时，函数零点个数不一定是个，即可得出结果.

①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标，

当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点；

当时，由得，即，即，

因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错；

②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令；

做出函数的图像如下：

由图像可得：当时，与有个交点；

当时，与有个交点；

因为函数恰有个不同零点，

则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）；

所以只需，，因此，，

所以；，，因此；故②正确；

③由，得；

所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数；

由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点；

当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点；

若，由基本不等式可得：，即时，；

若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错.

故答案为：②.