Question

【题目】已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用抛物线的定义可得，求出的值，从而得到抛物线的方程；
（2）设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得，利用AB的中垂线方程可得点C的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d，所以，令，则，利用导数可得最值.

（1）由题意知，则，

∴，

∴抛物线的标准方程为；

（2）设直线（）

由，得，

∴，

∴，

即，

即，

∴，

设AB的中垂线方程为：，即，

可得点C的坐标为，

∵直线，即，

∴点C到直线AB的距离，

∴

令，则，

令，

∴，

令，则，在上；在上，

故在单调递增，单调递减，

∴当，即时，.