Question

已知函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）  （x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证明f（x）是偶函数．

Answer 1

【答案】分析：要证明f（x）是偶函数，只需证f（-x）=f（x），根据题意，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），令x=0，上式转化为f（y）+f（-y）=2f（0）•f（y），只需证f（0）=1，再令x=y=0，即有f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），根据f（0）≠0，即可求得f（0）=1．
解答：证明：令x=y=0
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）
∴f（0）+f（0）=2f（0）•f（0）
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1
令x=0
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）∴f（y）+f（-y）=2f（0）•f（y）
∴f（-y）=f（y）
即f（x）是偶函数
点评：此题是个基础题，考查抽象函数及其应用，以及利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，解决抽象函数的问题一般应用赋值法．