Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=

1

2

．
（1）若n∈N^*时，求f（n）的表达式；
（2）设bn=

nf(n+1)

f(n)

  (n∈N*)，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

．

Answer 1

分析：（1）在等式中令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）f（1），即

f(n+1)

f(n)

=f(1)=

1

2

，可判断{f（n）}为等比数列，从而可求通项公式；
（2）由（1）易求b_n，利用等差数列求和公式可得s_n，

1

Sn

，利用裂项相消法可求得结果；

解答：解：（1）∵f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），f(1)=

1

2

，
∴f（n+1）=f（n）f（1），即

f(n+1)

f(n)

=f(1)=

1

2

，
∴{f（n）}为首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴f(n)=(

1

2

)(

1

2

)n-1=

1

2n

；
（2）∵

f(n+1)

f(n)

=

1

2

，∴bn=

nf(n+1)

f(n)

 =

n

2

，
∴s_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

×

n(n+1)

2

=

n(n+1)

4

，
∴

1

sn

=

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

4n

n+1

．

点评：本题考查数列求和、等比数列等差数列的通项公式，裂项相消法对数列求和高考考查的重点内容，应熟练掌握．